撲克牌遊戲與機率（一） | 撲克牌遊戲種類
Monday16thAugust202116-Aug-2021人工智慧化學物理數學生命科學生命科學文章植物圖鑑地球科學環境能源科學繪圖高瞻專區第一期高瞻計畫第二期高瞻計畫第三期高瞻計畫綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫關於我們網站主選單撲克牌遊戲與機率（一）(PokergameandtheprobabilityI)臺北市立和平高中黃俊瑋教師一副公正的撲克牌（Poker）共有四種花色（黑桃、紅心、方塊與梅花），各種花色包含\(13\)種數字（\(2\)、\(3\)、\(\cdots\)、\(10\)、\(J\)、\(Q\)、\(K\)、\(A\)）各一張，總共\(52\)張，有時會再加上\(2\)張鬼牌。
而撲克牌相關遊戲種類相當多，其中，一種常見的遊戲方式是每人發五張牌，依據牌面花色與點數所形成的牌型來決定勝負（即一般人口中所謂的梭哈）。
多年前，賭神、賭俠、賭聖系列等多部膾炙人口的電影，當中藉以比賽的撲克牌遊戲皆為此類。
遊戲當中，各類牌型的勝負比較如下：同花順>鐵隻>葫蘆>同花>順>三條>兩對>一對>其它（亂牌）。
當然在同一牌型之下，必需依據相對應的數字大小來作比較。
數字由大至小依序為：\(A>K>Q>J>10>9>\cdots>2\)；而在某些組合中\(A\)也可被視為\(1\)。
也由於各類牌型的機率計算上，僅需要古典機率與組合的概念即可，因此，無論是當年的聯考或者高中機率單元的補充教材裡，皆可看見此遊戲的蹤跡。
你也許會好奇，為什麼這些牌型大小需如此規定呢？問題的答案與機率有關。
首先，從\(52\)張牌中取\(5\)張牌的所有可能性共有\(C_5^{52}\) 種。
以下，我們便對各類牌型的組合數與機率作一簡單討論與說明。
在本文中，將先討論前五種牌型，而〈撲克牌遊戲與機率（二）〉中繼續討論另外四種牌型，並作進一步綜合討論。
屆時讀者不難了解遊戲設計者如此規定的原因。
1.同花順（straightflush）所謂的同花順指的是\(5\)張牌的花色相同，且數字連號，其中由大到小包含了\(AKQJ10\)、\(KQJ109\)、\(QJ1098\)、\(\cdots\)、\(65432\)、\(5432A\)共\(10\)種可能的連號（順）。
加上共有四種花色，因此，所有的同花順共有\(40\)種。
因此，出現同花順的機率便是：\(\displaystyle\frac{40}{C_5^{52}}\)。
此值約為\(0.000015\)。
另外，四種花色最大的同花順\(AKQJ10\)又被稱為同花大順（royalflush），它的組合數僅為\(4\)，拿到同花大順的機率更是只有 \(\displaystyle\frac{4}{C_5^{52}}\)，約為\(0.0000015\)，即千萬分之十五，此值大約是一張統一發票得二獎四萬元的機率的\(5\)倍，是得三獎一萬元的機率的一半。
2.鐵支（fourofakind）所謂的鐵支指的是\(5\)張牌當中，有四張數字相同。
例如：\(AAAAK\)、\(99992\)、\(77778\)等皆是，亦即其牌型為\(aaaab\)。
我們可以利用下述方式來計算其組合數：先從\(13\)個數字中選出\(1\)個作為\(a\)：\(C_1^{13}\)，再從其它\(12\)個數字中選出\(1\)個作為\(b\)：\(C_1^{12}\)。
接著，\(4\)種花色的數字\(a\) 全選：\(C_4^{4}\)，並從\(4\)種花色的數字\(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。
如此，利用乘法原理可計算出所有的鐵支共有：\(C_1^{13}C_1^{12}C_4^{4}C_1^{4}=624\)種。
因此，其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_1^{12}C_4^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。
此值約為\(0.00024\)。
3.葫蘆（fullhouse）所謂的葫蘆（有時亦譯作富而豪斯）指的是\(5\)張牌當中，有三張數字相同，另兩張也相同。
例如：\(AAAKK\)、\(99922\)、\(77788\)等皆是，亦即其牌型為\(aaabb\)。
我們可以利用下述方式來計算其組合數：先從\(13\)個數字中選出\(1\)個作為\(a\)：\(C_1^{13}\)，再
而撲克牌相關遊戲種類相當多，其中，一種常見的遊戲方式是每人發五張牌，依據牌面花色與點數所形成的牌型來決定勝負（即一般人口中所謂的梭哈）。
多年前，賭神、賭俠、賭聖系列等多部膾炙人口的電影，當中藉以比賽的撲克牌遊戲皆為此類。
遊戲當中，各類牌型的勝負比較如下：同花順>鐵隻>葫蘆>同花>順>三條>兩對>一對>其它（亂牌）。
當然在同一牌型之下，必需依據相對應的數字大小來作比較。
數字由大至小依序為：\(A>K>Q>J>10>9>\cdots>2\)；而在某些組合中\(A\)也可被視為\(1\)。
也由於各類牌型的機率計算上，僅需要古典機率與組合的概念即可，因此，無論是當年的聯考或者高中機率單元的補充教材裡，皆可看見此遊戲的蹤跡。
你也許會好奇，為什麼這些牌型大小需如此規定呢？問題的答案與機率有關。
首先，從\(52\)張牌中取\(5\)張牌的所有可能性共有\(C_5^{52}\) 種。
以下，我們便對各類牌型的組合數與機率作一簡單討論與說明。
在本文中，將先討論前五種牌型，而〈撲克牌遊戲與機率（二）〉中繼續討論另外四種牌型，並作進一步綜合討論。
屆時讀者不難了解遊戲設計者如此規定的原因。
1.同花順（straightflush）所謂的同花順指的是\(5\)張牌的花色相同，且數字連號，其中由大到小包含了\(AKQJ10\)、\(KQJ109\)、\(QJ1098\)、\(\cdots\)、\(65432\)、\(5432A\)共\(10\)種可能的連號（順）。
加上共有四種花色，因此，所有的同花順共有\(40\)種。
因此，出現同花順的機率便是：\(\displaystyle\frac{40}{C_5^{52}}\)。
此值約為\(0.000015\)。
另外，四種花色最大的同花順\(AKQJ10\)又被稱為同花大順（royalflush），它的組合數僅為\(4\)，拿到同花大順的機率更是只有 \(\displaystyle\frac{4}{C_5^{52}}\)，約為\(0.0000015\)，即千萬分之十五，此值大約是一張統一發票得二獎四萬元的機率的\(5\)倍，是得三獎一萬元的機率的一半。
2.鐵支（fourofakind）所謂的鐵支指的是\(5\)張牌當中，有四張數字相同。
例如：\(AAAAK\)、\(99992\)、\(77778\)等皆是，亦即其牌型為\(aaaab\)。
我們可以利用下述方式來計算其組合數：先從\(13\)個數字中選出\(1\)個作為\(a\)：\(C_1^{13}\)，再從其它\(12\)個數字中選出\(1\)個作為\(b\)：\(C_1^{12}\)。
接著，\(4\)種花色的數字\(a\) 全選：\(C_4^{4}\)，並從\(4\)種花色的數字\(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。
如此，利用乘法原理可計算出所有的鐵支共有：\(C_1^{13}C_1^{12}C_4^{4}C_1^{4}=624\)種。
因此，其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_1^{12}C_4^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。
此值約為\(0.00024\)。
3.葫蘆（fullhouse）所謂的葫蘆（有時亦譯作富而豪斯）指的是\(5\)張牌當中，有三張數字相同，另兩張也相同。
例如：\(AAAKK\)、\(99922\)、\(77788\)等皆是，亦即其牌型為\(aaabb\)。
我們可以利用下述方式來計算其組合數：先從\(13\)個數字中選出\(1\)個作為\(a\)：\(C_1^{13}\)，再