談起「虛數」這個詞，只要學習過高中數學的人，不難聯想到 ，相信也順便想起那段與 ... 至於要如何描述時間與空間的形狀，就必須引入「虛數時間」的想法了。

虛數的妙用中山女高蘇俊鴻老師談起「虛數」這個詞，只要學習過高中數學的人，不難聯想到，相信也順便想起那段與磨難奮鬥的時光。

對許多人而言，學習將數系由自然數→整數→有理數→實數逐一階段地擴展開來，還說得上道理。

但遇上複數後，始終搞不清楚為何弄個怪裏怪氣的傢伙，讓自己一個頭兩個大。

不僅數的很多性質不再適用(例如比較大小)，連描述複數系的結構，也得利用平面來對應說明。

主要是為了在複數()中納入虛數，只好將不相容的實部與虛部分開；但又為了能融合兩者，只好採用二維的平面來表徵：以軸表示實部；以軸表示虛部。

事實上，在數學史中我們也看到數學家從抗拒它的出現，到不得不接受它，進而利用它，也花了幾百年的時間！近來在史蒂芬．霍金所著《胡桃裏的宇宙》看見這個想法被理論物理學家拿來解說時空模型，相當有趣。

整個故事我們得由「時間是什麼？」這個一直困擾人們的問題(至今仍然依舊)開始談起，首先登場的是牛頓。

在1687年所出版的《自然哲學之數學原理》(Principia)，牛頓提出了第一個時間與空間的數學模型。

在他的模型中，時間與空間是萬事萬物的背景，卻不受萬事萬物的影響。

時間獨立於空間之外，像是一條直線或鐵軌，往兩端延伸沒有盡頭；而且是永恆不變的。

換句話說，它過去一直存在，將來也會繼續存在。

這樣的模型，符合多數人對時間的感覺，卻引起哲學家(包括康德在內)極大的困擾：假如宇宙是被創造出來的，那麼在創世之前，為何會等待無限長久的時間呢？另一方面，假如宇宙過去一直存在，那麼該發生的事不是應該都發生了？歷史不就早該終結了？康德將這個問題稱為「純粹理性之二律背反」，因為它似乎是邏輯上的矛盾，根本不可能有解。

事實上，這個矛盾只存在牛頓的數學模型中！因為其中的時間是一條無限長的直線，與宇宙中任何事物毫無關聯。

這個缺陷得以解決，是愛因斯坦的功勞。

愛因斯坦在1915年討論彎曲時空的觀念，提出廣義相對論，並在1919年得到實驗証實後，使得我們對於時間與空間有了不同的看法。

廣義相對論將時間維度與空間的三個維度結合起來，形成所謂的「時空」。

這個理論將重力的效應包含在內，討論物質與能量的分布會讓時空彎曲變形，因此，時空並不是平坦的。

也就是說，在這樣的時空模型中，雖然物體會試圖沿著直線運動，可是，由於時空彎曲的緣故，所以，它的路徑看起來也是彎曲的，彷彿受到重力場的影響。

在廣義相對論中，時間與空間糾纏在一起，如何也解不開來。

你想要讓空間彎曲，一定會牽連到時間，因此，時間也就有了形狀。

廣義相對論使得時間與空間從一個物理的舞台，搖身成為物理過程的主動參與者。

另一方面，在廣義相對論中，時間與空間並非互相獨立，也並非獨立於宇宙之外。

想要定義這兩者，必須利用在宇宙中所進行的測量，例如利用鐘錶內石英晶體振盪的次數；或是利用一把直尺。

這樣一個「在宇宙裏」所定義的時間，應該有極大值或是極小值，亦即有終點與起點。

至於起點之前發生什麼事？或是終點之後會發生什麼事？其實這一類問題都是沒有意義的，因為那些時間根本沒有定義。

至於要如何描述時間與空間的形狀，就必須引入「虛數時間」的想法了。

所謂的「虛數時間」是什麼呢？必須先由「虛數」談起，如果將實數看成對應於一條水平線上的各個位置的數，零在中間，正實數在右邊，負實數在左邊。

如此一來，虛數可以看成對應於一條垂直線上各個位置的數，零仍然在中間，正虛數畫在上面，負虛數畫在下面。

因此，我們將虛數視為一個新的數，與實數相互垂直，不需要任何的實質意義。

而「虛數時間」則是指由虛數來度量表示的時間。

或許很多人認為這樣定義下的「虛數時間」只是個數學遊戲，史蒂芬．霍金倒是為數學的價值說了番好話： 或許你會認為，這代表虛數只是個數學遊戲，與真實世界沒有任何關係。

然而，就實證主義觀點而言，我們無法斷言什麼是真實。

我們所能做的，只是確定哪些數學模型適合描述我們置身的宇宙。

結果証明，用到虛數時間的數學模型不僅能導出已經觀測到的效應，還能導出我們目前測量不出，卻基於某些原因而深信存在的效應。

所以說